blykbox.pages.dev






Samling i kvadratiska rötter och

3.1 Rötter

Förberedande lektion inom matematik 1

Hoppa till: navigering, sök

       Teori          Övningar          Ja/Nej?      

Innehåll:

  • Kvadratrot samt n:te rötter
  • Rotlagar

Lärandemål:

Efter detta segment bör ni äga lärt dig att:

  • Skriva angående en rotuttryck inom potensform.

    Rötter, potensekvationer och upprepad procentuell förändring

  • Beräkna kvadratroten ur några enkla heltal.
  • Kvadratroten ur en negativt anförande ej existerar definierad.
  • Kvadratroten ur en anförande betecknar den positiva roten.
  • Hantera rotlagarna inom förenkling från rotuttryck.
  • Veta då rotlagarna existerar giltiga (icke-negativa radikander).

    \ (\sqrt {a}\) är en kvadratrot ur \ (a\) om

  • Förenkla rotuttryck tillsammans kvadratrötter inom divisor.
  • Veta då n:te roten ur en negativt anförande existerar definierad (n udda).

Kvadratrötter

Symbolen \displaystyle \sqrt{a}, kvadratroten ur \displaystyle a, används vilket vän till för att beteckna detta anförande likt multiplicerat tillsammans sig självt blir \displaystyle a.

Man måste dock existera lite mer detaljerad då man definierar denna emblem.

Potenser och grundpotensform Vi repeterar hur potenser fungerar och hur vi kan skriva tal i tiopotensform och i grundpotensform

Ekvationen \displaystyle x^2 = 4 besitter numeriskt värde lösningar \displaystyle x = 2 samt \displaystyle x = -2, eftersom såväl \displaystyle 2\cdot 2 = 4 vilket \displaystyle (-2)\cdot(-2) = 4. Man skulle då behärska tro för att \displaystyle \sqrt{4} förmå existera vilken vilket helst från \displaystyle -2 samt \displaystyle 2, dvs.

\displaystyle \sqrt{4}= \pm 2, dock \displaystyle \sqrt{4} betecknar bara detta positiva talet \displaystyle 2.

Kvadratroten \displaystyle \sqrt{a} betecknar detta icke-negativa tal liksom multiplicerat tillsammans med sig självt blir \displaystyle a, dvs.

Vi lär oss också vad kvadratrötter är och hur vi använder dem

den icke-negativa lösningen mot ekvationen \displaystyle x^2 = a.

Kvadratroten ur \displaystyle a förmå även tecknas \displaystyle a^{1/2}.

Det existerar därför fel för att påstå för att \displaystyle \sqrt{4}= \pm 2, dock precis för att yttra för att ekvationen \displaystyle x^2 = 4 äger lösningarna \displaystyle x = \pm 2.

Exempel 1

  1. \displaystyle \sqrt{0}=0 \quad eftersom \displaystyle 0^2 = 0 \cdot 0 = 0 samt \displaystyle 0 existerar ej negativ.
  2. \displaystyle \sqrt{100}=10 \quad eftersom \displaystyle 10^2 = 10 \cdot 10 = 100 samt \displaystyle 10 existerar en positivt tal.
  3. \displaystyle \sqrt{0{,}25}=0{,}5 \quad eftersom \displaystyle 0{,}5^2 = 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25 samt \displaystyle 0{,}5 existerar positiv.
  4. \displaystyle \sqrt{2} \approx 1{,}4142 \quad eftersom \displaystyle 1{,}4142 \cdot 1{,}4142 \approx 2 samt \displaystyle 1{,}4142 existerar positiv.
  5. Ekvationen \displaystyle x^2=2 besitter lösningarna \displaystyle x=\sqrt{2} \approx 1{,}414 samt \displaystyle x = -\sqrt{2} \approx -1{,}414.
  6. \displaystyle \sqrt{-4}\quad existerar ej definierad, eftersom detta ej finns något reellt anförande \displaystyle x såsom möter \displaystyle x^2=-4.
  7. \displaystyle \sqrt{(-7)^2} = 7 \quad eftersom \displaystyle \sqrt{(-7)^2} = \sqrt{(-7) \cdot (-7)} = \sqrt{49} = \sqrt{ 7 \cdot 7} = 7.

När man beräknar tillsammans kvadratrötter kunna detta artikel god för att uppleva mot några räkneregler.

eftersom \displaystyle \sqrt{a} = a^{1/2} kunna oss överföra potenslagarna mot "rotlagar". oss besitter t.ex. för att

\displaystyle \sqrt{9\cdot 4}

= (9\cdot 4)^{1/2} = 9^{1/2}\cdot 4^{1/2} = \sqrt{9}\cdot \sqrt{4}\mbox{.}

På detta sätt kunna oss erhålla fram nästa räkneregler till kvadratrötter, liksom gäller till samtliga reella anförande \displaystyle a, b \ge 0:

\displaystyle \begin{align*}

\sqrt{ab} &= \sqrt{\vphantom{b}a}\cdot \sqrt{b}\\[4pt] \sqrt{\frac{a}{b}} &= \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\\[4pt] a\sqrt{b} &= \sqrt{a^2b} \end{align*}

(Vi måste dock nära divisionen ovan likt vanligt förutsätta för att b ej existerar 0.)

Exempel 2

  1. \displaystyle \sqrt{64\cdot 81} = \sqrt{64}\cdot \sqrt{81} = 8\cdot 9 = 72
  2. \displaystyle \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}} = \frac{3}{5}
  3. \displaystyle \sqrt{18} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{18 \cdot 2} = \sqrt{36} = 6
  4. \displaystyle \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5
  5. \displaystyle \sqrt{12} = \sqrt{ 4 \cdot 3 } = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}

Observera för att räknereglerna ovan förutsätter för att \displaystyle a samt \displaystyle b \ge 0.

Talet \ (a\) är större eller lika med \ (0\)

angående \displaystyle a samt \displaystyle b existerar negativa (< 0) således existerar ej \displaystyle \sqrt{a} samt \displaystyle \sqrt{b} definierade vilket reella anförande. Man skulle t.ex. behärska frestas för att notera

\displaystyle -1 = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{ (-1) \cdot (-1) } = \sqrt{1} = 1

men ser då för att något ej stämmer.

Anledningen existerar för att \displaystyle \sqrt{-1} ej existerar en reellt anförande, vilket alltså fullfölja för att räknereglerna ovan ej får användas.

Högre ordningars rötter

Kubikroten ur en anförande \displaystyle a definieras såsom detta anförande såsom multiplicerat tillsammans med sig självt tre gånger ger \displaystyle a, samt betecknas \displaystyle \sqrt[\scriptstyle 3]{a}.

Exempel 3

  1. \displaystyle \sqrt[\scriptstyle 3]{8} = 2 \quad eftersom \displaystyle 2 \cdot 2 \cdot 2=8.
  2. \displaystyle \sqrt[\scriptstyle 3]{0{,}027} = 0{,}3 \quad eftersom \displaystyle 0{,}3 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}3 = 0{,}027.
  3. \displaystyle \sqrt[\scriptstyle 3]{-8} = -2 \quad eftersom \displaystyle (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)= -8.

    I det här avsnittet ska vi lära oss om kvadratrötter och andra rötter, och se hur de förhåller sig till potenser

Notera för att, mot skillnad ifrån kvadratrötter, existerar kubikrötter även definierade till negativa anförande.

Det går sedan för att på grund av positiva heltal \displaystyle n definiera n:te roten ur en anförande \displaystyle a såsom

  • angående \displaystyle n existerar jämn samt \displaystyle a\ge0 existerar \displaystyle \sqrt[\scriptstyle n]{a} detta icke-negativa anförande likt multiplicerat tillsammans med sig självt \displaystyle n gånger blir \displaystyle a,
  • ifall \displaystyle n existerar udda således existerar \displaystyle \sqrt[\scriptstyle n]{a} detta anförande liksom multiplicerat tillsammans med sig självt \displaystyle n gånger blir \displaystyle a.

Roten \displaystyle \sqrt[\scriptstyle n]{a} kunna även tecknas såsom \displaystyle a^{1/n}.

Exempel 4

  1. \displaystyle \sqrt[\scriptstyle 4]{625} = 5\quad eftersom \displaystyle 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625.
  2. \displaystyle \sqrt[\scriptstyle 5]{-243} = -3\quad eftersom \displaystyle (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -243.
  3. \displaystyle \sqrt[\scriptstyle 6]{-17}\quad existerar ej definierad eftersom \displaystyle 6 existerar jämn samt \displaystyle -17 existerar en negativt tal.

För \displaystyle n:te rötter gäller identisk räkneregler likt till kvadratrötter angående \displaystyle a, \, b \ge 0.


  • samling inom kvadratiska rötter och

    • Observera för att angående \displaystyle n existerar udda gäller dem även på grund av negativa \displaystyle a samt \displaystyle b, dvs. till varenda reella anförande \displaystyle a samt \displaystyle b.

    Detta kallas också för roten ur

    \displaystyle \begin{align*}

    \sqrt[\scriptstyle n]{ab} &= \sqrt[\scriptstyle n]{\vphantom{b}a}\cdot \sqrt[\scriptstyle n]{b}\\[4pt] \sqrt[\scriptstyle n]{\frac{a}{b}} &= \frac{\sqrt[\scriptstyle n]{a}}{\sqrt[\scriptstyle n]{b}}\\[4pt] a\,\sqrt[\scriptstyle n]{b} &= \sqrt[\scriptstyle n]{a^nb} \end{align*}

    Förenkling från rotuttryck

    Ofta kunna man genom för att nyttja räknereglerna på grund av rötter förenkla rotuttryck något som är viktigt eller nödvändigt.

    Liksom nära potensräkning handlar detta ofta ifall för att avbryta ner formulering inom således "små" rötter liksom möjligt. Exempelvis utför man gärna omskrivningen

    \displaystyle \sqrt{8}

    = \sqrt{4\cdot2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}

    eftersom man då förmå förenkla t.ex.

    \displaystyle \frac{\sqrt{8}}{2}

    = \frac{2 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\mbox{.}

    Genom för att notera rotuttryck inom begrepp från "små" rötter är kapabel man även addera rötter från "samma sort", t.ex.

    Titta först på genomgångarna högst upp och försök sedan lösa uppgifterna i dessa genomgångar! Fler uppgifter om exponentiell förändring

    \displaystyle \sqrt{8} + \sqrt{2}

    = 2\sqrt{2} + \sqrt{2} = (2+1)\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\mbox{.}

    Exempel 5

    1. \displaystyle \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{18}} = \frac{\sqrt{2 \cdot 4}}{\sqrt{2 \cdot 9}} = \frac{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2}}{\sqrt{2 \cdot 3 \cdot 3}} = \frac{\sqrt{2 \cdot 2^2}}{\sqrt{2 \cdot 3^2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = \frac{2}{3}
    2. \displaystyle \frac{\sqrt{72}}{6} = \frac{\sqrt{8 \cdot 9}}{ 2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3}}{ 2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 2}}{ 2 \cdot 3} = \frac{2 \cdot 3\sqrt{2}}{2 \cdot 3} = \sqrt{2}
    3. \displaystyle \sqrt{45} + \sqrt{20} = \sqrt{9\cdot5} + \sqrt{4\cdot5} = \sqrt{3^2\cdot5} + \sqrt{2^2\cdot5} = 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5}\vphantom{\bigl(}
      \displaystyle \phantom{\sqrt{45} + \sqrt{20}\vphantom{\bigl(}}{} = (3+2)\sqrt{5} = 5\sqrt{5}
    4. \displaystyle \sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}\vphantom{\Bigl(} = \sqrt{5 \cdot 10} + 2\sqrt{3} -\sqrt{2 \cdot 16} + \sqrt{3 \cdot 9}
      \displaystyle \phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}\vphantom{\Bigl(}}{} = \sqrt{5 \cdot 2 \cdot 5} + 2\sqrt{3} -\sqrt{2 \cdot 4 \cdot 4} + \sqrt{3 \cdot 3 \cdot 3}\vphantom{a^{b^c}}
      \displaystyle \phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}\vphantom{\Bigl(}}{} = \sqrt{5^2 \cdot 2 } + 2\sqrt{3} -\sqrt{2^2 \cdot 2^2 \cdot 2} + \sqrt{3 \cdot 3^2}\vphantom{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}
      \displaystyle \phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}\vphantom{\Bigl(}}{} = 5\sqrt{2} +2\sqrt{3} - 2 \cdot 2\sqrt{2} + 3\sqrt{3}\vphantom{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}
      \displaystyle \phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}\vphantom{\Bigl(}}{} = (5-4)\sqrt{2} + (2+3)\sqrt{3}\vphantom{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}
      \displaystyle \phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}\vphantom{\Bigl(}}{} = \sqrt{2} + 5\sqrt{3}\vphantom{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}
    5. \displaystyle \frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{12} } = \frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{3 \cdot 4} } = \frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{3} \cdot \sqrt[\scriptstyle3]{4} } = \frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{4} } = \frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{2 \cdot 2} } = \frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{2} \cdot \sqrt[\scriptstyle3]{2} } \cdot \displaystyle \frac{\sqrt[\scriptstyle3]{2}}{ \sqrt[\scriptstyle3]{2}} = \frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{2} }{ 2 } = \sqrt[\scriptstyle3]{2}
    6. \displaystyle (\sqrt{3} + \sqrt{2}\,)(\sqrt{3} - \sqrt{2}\,) = (\sqrt{3}\,)^2-(\sqrt{2}\,)^2 = 3-2 = 1
      där oss använt konjugatregeln \displaystyle (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 tillsammans \displaystyle a=\sqrt{3} samt \displaystyle b=\sqrt{2}.

    Rationella rotuttryck

    När rötter förekommer inom en rationellt formulering önskar man ofta undvika rötter inom divisor (eftersom detta existerar svårt nära handräkning för att dividera tillsammans med irrationella tal).

    Genom för att förlänga tillsammans \displaystyle \sqrt{2} förmå man exempelvis utföra omskrivningen

    \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}

    = \frac{1\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

    vilket oftast existerar för att föredra.

    I andra fall är kapabel man utnyttja konjugatregeln, \displaystyle (a+b)(a-b) = a^2 - b^2, samt förlänga tillsammans nämnarens s.k.

    konjugerade uttryck. vid därför sätt försvinner rottecknen ifrån divisor genom kvadreringen, t.ex.

    \displaystyle \begin{align*}

    \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1} &= \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{3}\,(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}\\[4pt] &= \frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{2} - \sqrt{3}\cdot1}{(\sqrt{2}\,)^2 - 1^2 } = \frac{\sqrt{3 \cdot 2} - \sqrt{3}}{ 2 - 1 } = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{ 1 } = \sqrt{6} - \sqrt{3}\mbox{.} \end{align*}

    Exempel 6

    1. \displaystyle \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{15}}{5} = 2\sqrt{15}
    2. \displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{(1+\sqrt{3})\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}
    3. \displaystyle \frac{3}{\sqrt{2}-2} = \frac{3(\sqrt{2}+2)}{(\sqrt{2}-2)(\sqrt{2}+2)} = \frac{3\sqrt{2}+6}{(\sqrt{2}\,)^2-2^2} = \frac{3\sqrt{2}+6}{2-4} = -\frac{3\sqrt{2}+6}{2}
    4. \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}\,(\sqrt{6}-\sqrt{3}\,)}{(\sqrt{6}+\sqrt{3}\,) (\sqrt{6}-\sqrt{3}\,)} = \frac{\sqrt{2}\,\sqrt{6}-\sqrt{2}\,\sqrt{3}}{(\sqrt{6}\,)^2 -(\sqrt{3}\,)^2}\vphantom{\Biggl(}
      \displaystyle \phantom{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}\vphantom{\Biggl(}}{} = \frac{\sqrt{2}\,\sqrt{2\cdot 3}-\sqrt{2}\,\sqrt{3}}{6-3} = \frac{2\sqrt{3}-\sqrt{2}\,\sqrt{3}}{3} = \frac{(2-\sqrt{2}\,)\sqrt{3}}{3} \vphantom{\displaystyle\frac{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}{b}}


    Övningar