Hur löser jag en andragradsekvation
Andragradsekvationer
Vi äger tidigare lärt oss ifall således kallade andragradekvationer samt hur man kunna utföra på grund av för att åtgärda liknande ekvationer, bland annat tillsammans hjälp från pq-formeln. Låt oss repetera hur oss löser andragradsekvationer.
En fullständig andragradsekvation följer identisk mönster liksom nästa ekvation:
$$x^{2}+16x-4=0$$
För för att åtgärda enstaka andragradsekvation tillsammans med hjälp från pq-formeln bör koefficienten framför x2-termen artikel 1 samt högerledet lika tillsammans noll.
Utifrån metoden kvadratkomplettering kan vi härleda en formel, pq-formeln, en formel som gör det enklare att lösa andragradsekvationer i det allmänna falletdetta bör alltså finnas ett x2-term, ett x-term, samt enstaka konstant term.
Om x2-termen äger ett koefficient tillsammans med något annat värde än 1, därför behöver oss inledningsvis notera ifall uttrycket genom för att dividera samtliga begrepp tillsammans koefficienten.
Här följer en modell vid hur detta kunna vandra mot då x2-termen besitter koefficienten 2
$$2x^{2}+8x-2=0$$
$$\frac{2x^{2}}{2}+\frac{8x}{2}-\frac{2}{2}=\frac{0}{2}$$
$$x^{2}+4x-1=0$$
Det existerar även nödvändigt för att äga endast noll inom högerledet.
angående oss äger en anförande alternativt en formulering inom HL subtraherar oss detta ifrån både vänsterledet samt högerledet - kvar inom högerledet blir då noll.
Här existerar en modell vid hur detta förmå vandra till
$$x^{2}+4x-1=7$$
$$x^{2}+4x-1-7=7-7$$
$$x^{2}+4x-8=0$$
När oss för tillfället besitter ett andragradsekvation skriven vid önskad form eller gestalt, förmå oss ta nästa steg samt åtgärda denna ekvation tillsammans med hjälp från pq-formeln.
pq-formeln ser ut sålunda här:
$$x^{2}+px+q=0$$
$$x=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\left (\frac{p}{2} \right )^{2}-q}$$
Vi bör för tillfället visa en modell vid hur man förmå tillämpa denna formel till för att åtgärda enstaka andragradsekvation
$$x^{2}+12x-13=0$$
Vi börjar tillsammans med för att känna igen p samt q.
Observera för att q-värdet existerar negativt:
$$p=12$$
$$q=-13$$
$$x=-\frac{12}{2}\pm \sqrt{\left (\frac{12}{2} \right )^{2}-(-13)}$$
$$x=-6\pm \sqrt{36+13}=-6\pm \sqrt{49}=$$
$$=-6\pm 7\Rightarrow x_{1}=1\: och\: x_{2}=-13$$
En andragradsekvation besitter ofta numeriskt värde lösningar, dock är kapabel även äga endast enstaka svar alternativt ingen lösning.
Här existerar en modell vid enstaka andragradsekvation såsom besitter endast enstaka lösning
$$x^{2}-8x+16=0$$
$$x=-\frac{(-8)}{2}\pm \sqrt{\left (\frac{(-8)}{2} \right )^{2}-16}$$
$$x=4\pm \sqrt{(-4)^{2}-16}=4\pm \sqrt{0}$$
$$x_{1}=x_{2}=4$$
Emellanåt är kapabel man även äga för att utföra tillsammans med enstaka andragradsekvation vilket ej besitter någon reell svar.
Detta inträffar då rot-delen från pq-formeln utgörs från en formulering liksom existerar roten ur en negativt tal.
Den på denna plats andragradsekvationen besitter ej någon reell lösning
$$x^{2}+10x+26=0$$
$$x=-\frac{10}{2} \pm\sqrt{\left (\frac{10}{2} \right )^{2}-26}$$
$$x=-5 \pm\sqrt{5^{2}-26}=-5\pm \sqrt{-1}$$
Eftersom oss ej är kapabel räkna ut roten ur -1 saknar ekvationen reell lösning.
Ett annat sätt för att åtgärda en andragradsekvation existerar tillsammans med hjälp från kvadratkomplettering
Målet existerar för att nedteckna ifall ekvationen liksom enstaka kvadrat, dvs sålunda här
$$x^2-2bx+b^2= (x-b)^2$$
Vi besitter ekvationen
$$x^2-4x-12 = 0$$
Vi lägger mot 12 båda sidor
$$x^2-4x-12+12=0+12$$
Sedan lägger oss mot d2, liksom oss sen bör hitta på grund av för att VL bör bli ett kvadrat.
Det ska alltså finnas en x 2 -term, en x -term, samt en konstant term$$x^2-4x+d^2 = 12+d^2$$
Vi kollar närmare vid VL vilket oss behöver till värde på d på grund av för att detta bör artikel ett kvadrat. (Notera för att detta blir minus inom parentesen eftersom detta existerar minus framför 4x)
$$x^2-4x+d^2 = (x-d)^2$$
$$x^2-4x+d^2 = x^2 -2dx+d^2$$
Så till för att detta bör stämma måste
$$-4x = -2dx $$
Alltså måste d = 2
Nu är kapabel oss notera angående den denna plats ekvationen
$$x^2-4x+d^2 = 12+d^2$$
$$(x-d)^2= 12+d^2$$
Vi sätter in d = 2
$$(x-2)^2= 12+4$$
$$(x-2)^2= 16$$
Nu drar oss roten ur båda leden samt oss får
$$x-2 = \pm \sqrt{16}$$
$$x=2\pm 4$$
$$x_1= 6 \text{ samt } x_2 = -2$$
VI är kapabel granska våra rötter genom för att byta ut dem mot x i ekvationen oss ägde ifrån start samt får ut 0.
$$6^2 -4\cdot 6 -12 = 36 -24-12 = 0 $$
$$(-2)^2-4(-2)-12= 4+8-12 =0$$
Det stämmer!
Avsaknad från p-värde
pq-formeln som oss använde tidigare kunna ständigt tillämpas vid andragradsekvationer, dock angående ekvationen saknar p- alternativt q-värde, således finns detta enklare metoder för att hitta lösningar.
I detta på denna plats avsnittet bör oss titta hur man kunna åtgärda andragradsekvationer likt saknar p-värde (p existerar lika tillsammans noll).
Här existerar en modell vid hur enstaka sådan andragradsekvation kunna titta ut
$$x^{2}-16=0$$
Den på denna plats ekvationen saknar alltså p-värde.
en annat sätt för att nedteckna just den denna plats ekvationen är
$$x^{2}+0\cdot x-16=0$$
Men eftersom
$$0\cdot x=0$$
låter man vanligtvis bli för att notera ut den termen inom uttrycket.
Vi kan åtgärda ekvationen genom pq-formeln:
$$\\p=0$$
$$q=-16$$
$$x=-\frac{0}{2} \pm \sqrt{\left (\frac{0}{2} \right )^{2}-(-16)}$$
$$x=\pm \sqrt{16}=\pm 4$$
$$x_{1}=4 \: samt \: x_{2}=-4$$
Men en enklare sätt för att åtgärda just den denna plats sortens andragradsekvationer existerar för att addera 16 vid båda sidor ifall likhetstecknet.
$$x^{2}-16 + 16 =0+16$$
$$x^{2}=16$$
$$x=\sqrt{16}$$
$$x_{1}=4 \: samt \: x_{2}=-4$$
Vi får ut identisk lösning(ar) oavsett vilken från dessa metoder oss använder, dock då andragradsekvationen saknar p-värde förmå den senare metoden existera enklare samt snabbare för att nyttja än pq-formeln.
Vi besitter inom detta förra avsnittet sett för att vissa andragradsekvationer saknar reella lösningar.
identisk sak gäller på grund av vissa andragradsekvationer vars p-värde existerar lika tillsammans med noll.
Här existerar en modell vid ett sådan andragradsekvation vilket saknar reella lösningar:
$$x^{2}+16=0$$
Försöker oss för att åtgärda den vid identisk sätt likt oss gjorde nyss tillsammans den liknande ekvationen, får oss detta denna plats resultatet:
$$x^{2}+16-16=0-16$$
$$x^{2}=-16$$
$$x=\pm \sqrt{-16}$$
Andragradsekvationen saknar alltså reella lösningar, eftersom uttrycket beneath rot-tecknet existerar negativt.
Avsaknad från q-värde
Vi äger tidigare sett hur man hittar lösningar vid fullständiga andragradsekvationer samt hur man enklare kunna hitta lösningar vid liknande andragradsekvationer liksom saknar p-värde.
Nu bör oss repetera enstaka teknik såsom är kapabel användas till för att enklare hitta lösningar inom dem fall då andragradsekvationen saknar q-värde (det önskar yttra då q existerar lika tillsammans noll).
oss äger tidigare stött vid denna teknik, såsom kallas nollproduktmetoden.
Här existerar en modell vid enstaka andragradsekvation likt saknar q-värde:
$$x^{2}+4x=0$$
Ett annat sätt för att nedteckna denna ekvation är
$$x^{2}+4x+0=0$$
men vid identisk sätt såsom oss såg tidigare inom avsnittet ifall andragradsekvationer liksom saknar p-värde, låter man vanligtvis bli för att notera ut q-värdet ifall detta existerar lika tillsammans noll.
Först bör oss visa för att detta går för att åtgärda denna typ från andragradsekvation tillsammans hjälp från pq-formeln:
$$p=4 \\q=0$$
$$x=-\frac{4}{2}\pm \sqrt{\left (\frac{4}{2} \right )^{2}-0}$$
$$x=-2\pm \sqrt{4}$$
$$x=-2\pm 2$$
$$x_{1}=0 \: samt \: x_{2}=-4$$
Men oss bör även åtgärda ekvationen vid en snabbare sätt.
oss börjar tillsammans för att faktorisera ekvationens VL samt avbryta ut x:
$$x^{2}+4x=x(x+4)=0$$
Nu äger oss numeriskt värde faktorer vars vara liksom bör artikel lika tillsammans noll. oss vet för att angående ett från dessa faktorer existerar noll, därför kommer VL = 0 = HL:
$$x\cdot (x+4)=0$$
Den inledande roten mot ekvationen existerar därför x=0:
$$0\cdot (0+4)=0\cdot 4=0$$
Den andra roten får oss ifall oss tänker för att den andra faktorn bör existera noll.
Vi kollar på några olika exempelDen andra faktorn är:
$$(x+4)$$
Vi får alltså liksom ett små mini-ekvation liksom oss bör lösa:
$$(x+4)=0\Rightarrow x=-4$$
Den andra roten mot ekvationen existerar därför x=-4:
$$-4\cdot (-4+4)=-4\cdot 0=0$$
De båda rötterna existerar idag funna samt ekvationen existerar löst.
oss förmå kontrollräkna våra lösningar genom för att testa för att sätta in dem båda rötterna fanns på grund av sig inom ursprungsekvationen:
$$x_{1}=0$$
$$0^{2}+4\cdot 0=0$$
$$x_{2}=-4$$
$$(-4)^{2}+4\cdot (-4)=16-16=0$$
Låt oss räkna ytterligare en modell, denna gång tillsammans med utgångspunkt inom enstaka tredjegradsekvation:
$$x^{3}-6x^{2}+5x=0$$
Hur kunna oss åtgärda denna ekvation?
oss förmå direkt titta för att VL består från begrepp liksom samtliga innehåller x, vilket betyder för att oss förmå faktorisera uttrycket inom VL samt avbryta ut x:
$$x^{3}-6x^{2}+5x=0 \Rightarrow$$
$$x(x^{2}-6x+5)=0$$
Nu förmå oss direkt, genom den inledande faktorn existerar x, titta för att den inledande roten är
$$x_{1}=0$$
Den andra faktorn är
$$(x^{2}-6x+5)$$
Vi skapar ett "mini-ekvation" samt löser ut dem andra numeriskt värde rötterna genom pq-formeln:
$$x^{2}-6x+5=0$$
$$p=-6$$
$$q=5$$
$$x=-\frac{(-6)}{2}\pm \sqrt{\left (\frac{-6}{2} \right )^{2}-5}$$
$$x=3\pm \sqrt{4}=3\pm 2$$
$$x_{2}=1 \: samt \: x_{3}=5$$
Just den denna plats tredjegradsekvationen plats en specialfall, likt oss kunde åtgärda tillsammans hjälp från faktorisering samt pq-formeln.
Dessa metoder kunna dock existera användbara för att äga inom minnet angående man stöter vid ekvationer från högre gradtal.
Vi löser en mot exempel
$$x^3+6x^2+12x=0$$
Vi faktoriserar genom för att avbryta ut x
$$x(x^2+6x+12)=0$$
Första roten är
$$x_1=0$$
Vi löser resten med pq-formeln
$$x= \frac{-6}{2} \pm \sqrt{{\left(\frac{6}{2}\right)}-12}$$
$$x= -3 \pm \sqrt{9-12}$$
$$x= -3 \pm \sqrt{(-3)}$$
Vi fick en negativt anförande beneath rottecknet samt därför är x2och x3 ej reella rötter.
sålunda den enda reella rötter oss fick fanns den oss ägde ifrån början
$$x_1=0$$